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高中数学几何体的外接球与内切球的6个题型!

高中数学 05-04 浏览量: 分享:
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高中数学几何体的外接球与内切球的6个题型!今天三好网在线一对一小好老师给大家总结了一些常见的外接球与内切球的问题,请同学们好好研究一下,难度不大,有一些规律要注意!另外,小好老师答应用嘟嘟星xi给的题目做例题的,但是小好老师用几何画板的能力还需要加强,所以,时间有限,没有整理出来!等节后,小好老师一定再分析一下那几道例题!

 

 

  一、外接球的问题

 

  简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点,此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题,其中球心的确定是关键.

 

  (一)  由球的定义确定球心

 

  在空间,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心.

 

  由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.

 

  结论1:正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点.

 

  结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.

 

  结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.

 

  结论4:正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过计算找到.

 

  结论5:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.

 

 

  (二)构造正方体或长方体确定球心

 

  长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法.

 

  途径1:正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体.

 

  途径2:同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体.

 

  途径3:若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体.

 

  途径4:若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体.

 

 

  (三)   由性质确定球心

 

  利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心.

 

 

  二、内切球问题

 

  若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。

 

  1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

 

  2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

 

  3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合。

 

  4、基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理。

 

  5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

 

 

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