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高中数学知识点:函数与方程的五个命题的解答技巧!

高中数学 05-18 浏览量: 分享:
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高中数学知识点:函数与方程的五个命题的解答技巧!今天在线一对一小好给大家分享一下,2016年高考数学数学思想篇--函数与方程的五个命题角度。

 

 

  数学思想的概述

 

  1、函数的思想

 

  是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等.

 

  2、方程的思想

 

  就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程的教学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.

 

  函数与方程的思想在解题中的应用可从以下几个方面思考:

 

  (1)函数与不等式的相互转化,对函数y=f(x),当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.

 

  (2)数列的通项与前n项和公式是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要,数列也可用方程思想求解.

 

  (3)①解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决,这都涉及二次方程与二次函数的有关理论;

 

  ②立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切.

 

  角度一

 

  求变量的最值或范围

 

  【终极提升】

 

  四类参数范围(或最值)的求解方法

 

  (1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组),然后由方程(组)求得.

 

  (2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题,解决这类问题一般有两种途径:其一,充分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母为元的不等式(组)求解;其二,充分应用题设中的等量关系,将待求参数表示成其他变量的函数,然后,应用函数知识求值域.

 

  (3)当问题中出现两数积与这两数和时,这是构建一元二次方程的明显信息,构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决.

 

  (4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数,如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决.

 

  角度二

 

  解图象交点或方程根

 

  【终极提升】

 

  方程问题也可以转化为函数问题加以解决,如解方程f(x)=0,就是求函数y=f(x)的零点,解不等式f(x)>0(或f(x)<0),就是求函数y=f(x)的正(或负)区间,再如方程f(x)=g(x)的解的问题可以转化为函数y=f(x)与y=g(x)的交点问题,也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴的交点问题,方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域,函数与方程的这种相互转化关系十分重要.

 

  角度三

 

  求解不等式

 

  【终极提升】

 

  求解这类与函数有关的不等式,是根据不等式构造函数,利用函数的单调性及方程的根确定解集.

 

  角度四

 

  求解数列问题中的未知量

 

  【终极提升】

 

  等差数列或等比数列各量之间(a1、an、Sn、d或q、n)就是用方程求解的.数列是一种特殊的函数,数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似,但要注意数列问题中n的取值范围为正整数,涉及的函数具有离散性特点.

 

  角度五

 

  求解释析几何中的问题

 

  【终极提升】

 

  利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤

 

  第一步:联立方程.

 

  第二步:求解判别式Δ.

 

  第三步:代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质,得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系,将其代换.

 

  第四步:下结论.将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中,即可求出目标参数的取值范围.

 

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