三好网中小学超级在线一对一
教育头条 > 初中数学 > 中考数学函数必考性质总结

中考数学函数必考性质总结

初中数学 05-21 浏览量: 分享:
相关标签:初中数学知识

   函数是中考数学的基础,又是重难点,在线一对一小好提醒同学们务必好好掌握这块内容!

 
  一次函数
 
  一、定义与定义式:
 
  自变量x和因变量y有如下关系:
 
  y=kx+b
 
  则此时称y是x的一次函数。
 
  特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。
 
  即:y=kx (k为常数,k≠0)
 
中考数学函数必考性质总结
 
  二、一次函数的性质:
 
  1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
 
  即:y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)
 
  2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
 
  三、一次函数的图像及性质:
 
  1.作法与图形:通过如下3个步骤
 
  (1)列表;
 
  (2)描点;
 
  (3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
 
  2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
 
  3.k,b与函数图像所在象限:
 
  当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
 
  当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
 
  当b>0时,直线必通过一、二象限;
 
  当b=0时,直线通过原点
 
  当b<0时,直线必通过三、四象限。
 
  特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
 
  这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
 
  四、确定一次函数的表达式:
 
  已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
 
  (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
 
  (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②
 
  (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
 
  (4)最后得到一次函数的表达式。
 
  五、一次函数在生活中的应用:
 
  1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
 
  2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
 
  六、常用公式:(不全,希望有人补充)
 
  1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
 
  2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2
 
  3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2
 
  4.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
 
  二次函数
 
  I.定义与定义表达式
 
  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
 
  y=ax^2+bx+c
 
  (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
 
  则称y为x的二次函数。
 
  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
 
  II.二次函数的三种表达式
 
  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
 
  顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]
 
  交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ,0)和 B(x?,0)的抛物线]
 
  注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
 
  h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
 
  III.二次函数的图像
 
  在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
 
  可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
 
  IV.抛物线的性质
 
  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
 
  x= -b/2a。
 
  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
 
  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
 
  2.抛物线有一个顶点P,坐标为
 
  P( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
 
  当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
 
  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
 
  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
 
  |a|越大,则抛物线的开口越小。
 
  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
 
  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
 
  当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
 
  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
 
  抛物线与y轴交于(0,c)
 
  6.抛物线与x轴交点个数
 
  Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
 
  Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
 
  Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
 
  V.二次函数与一元二次方程
 
  特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
 
  当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
 
  即ax^2+bx+c=0
 
  此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
 
  函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
 
  1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
 
  解析式 顶点坐标对 称 轴
 
  y=ax^2(0,0) x=0
 
  y=a(x-h)^2(h,0) x=h
 
  y=a(x-h)^2+k(h,k) x=h
 
  y=ax^2+bx+c(-b/2a,[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a
 
  当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
 
  当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
 
  当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;
 
  当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
 
  当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
 
  当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;
 
  因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
 
  2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
 
  3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小.
 
  4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
 
  (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
 
  (2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=
 
  (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|
 
  当△=0.图象与x轴只有一个交点;
 
  当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
 
  5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
 
  顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
 
  6.用待定系数法求二次函数的解析式
 
  (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
 
  y=ax^2+bx+c(a≠0).
 
  (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).
 
  (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
 
  7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
 
  反比例函数
 
  形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数。
 
  自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
 
  反比例函数图像性质:
 
  反比例函数的图像为双曲线。
 
  由于反比例函数属于奇函数,有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
 
  另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣。
 
  如图,上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。
 
  当K>0时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数
 
  当K<0时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数
 
  反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。
 
  知识点:
 
  1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。
 
  2.对于双曲线y=k/x ,若在分母上加减任意一个实数 (即 y=k/(x±m)m为常数),就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移,减一个数时向右平移)
 

会员评论评论:0

热门评论评论:0

网站导航︿


线

×确认

×提示

三好网微信二维码

三好网微信号:sanhao100

您的宝贵意见与建议是我们进步的源泉!

  • 使用疑问
  • 服务体验
  • 视觉设计
  • 产品功能

还可以输入200

图片验证码X

点击刷新
确认 取消